模块一：电磁学复习指南 (Electromagnetism)

1. 核心逻辑与公式关系图谱

请按以下逻辑链条记忆，不要孤立背公式：

• 静电场： 电荷 $q\stackrel{\text{高斯定理}}{\to }$ 电场 $E\stackrel{\text{积分}}{\to }$ 电势 $V\stackrel{C=Q/V}{\to }$ 电容 $C\stackrel{\text{能量}}{\to }$ $W_e$
• 稳恒磁场： 电流 $I\stackrel{\text{安培环路/毕奥萨伐尔}}{\to }$ 磁感应强度 $B\stackrel{\text{左手定则}}{\to }$ 安培力/洛伦兹力 $\stackrel{\text{力矩}}{\to }$ 磁力矩
• 电磁感应（桥梁）： 磁通量 ${\mathrm{\Phi }}_B$ 变化 $\stackrel{\text{法拉第定律}}{\to }$ 感应电动势 $\mathcal{E}$ $\stackrel{\text{欧姆定律}}{\to }$ 感应电流

2. 高频考点与公式速查

A. 静电场 (Electrostatics)

• 高斯定理 (必考计算/填空)
  • 公式：${\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{\sum q_{\text{in}}}{{\epsilon }_0}$
  • 重点模型结论（直接背诵）：
    • 均匀带电球面/球壳 (半径 $R$)：
      • 内 ($r<R$): $E=0$
      • 外 ($r>R$): $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$ (看作球心点电荷)
    • 无限长均匀带电圆柱面/线 (电荷线密度 $\lambda$)：
      • 外: $E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$
    • 无限大均匀带电平板 (电荷面密度 $\sigma$)：
      • 两侧: $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$ (注意：若是导体表面则是 $\sigma /{\epsilon }_0$)
• 电势与电场的关系
  • 定义：$V_P={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$ （通常选无穷远为0势点）
  • 技巧： 导体处于静电平衡时是等势体。求导体球电势时，记得加上球外其他电荷在球心产生的电势（电势叠加原理）。
• 电容与能量
  • 平行板电容：$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}$
  • 圆柱形电容：$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln (R_2/R_1)}$ (考过计算题)
  • 能量密度：$w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2$ (重要！)

B. 稳恒磁场 (Magnetostatics)

• 毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)
  • 用于计算特殊形状电流的磁场。
  • 重点结论：
    • 无限长直导线：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
    • 圆电流中心：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
    • 圆电流轴线上：$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$
• 安培环路定理
  • 公式：${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0\sum I_{\text{in}}$
  • 应用：无限长螺线管内部 $B={\mu }_{0}nI$ ($n$为单位长度匝数)。
• 磁场对电流的作用
  • 安培力： $d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ (注意方向：右手螺旋/左手定则)
  • 洛伦兹力： $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ (不做功，只改变方向)
    • 圆周运动半径：$R=\frac{mv}{qB}$，周期 $T=\frac{2\pi m}{qB}$
  • 霍尔效应 (Hall Effect - 历年高频填空)：
    • 霍尔电压：$V_H=\frac{IB}{nqd}$ ($d$为厚度，$n$为载流子浓度)。
    • 考点： 判断高电势面（利用洛伦兹力判断载流子堆积方向，注意电子带负电！）。

C. 电磁感应 (Electromagnetic Induction) —— 计算题核心

• 法拉第电磁感应定律
  • $\mathcal{E}=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-\frac{d}{dt}(\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S})$
  • 解题步骤：
    1. 找回路。
    2. 计算磁通量 $\mathrm{\Phi }=B\cdot S$ (如果 $B$ 不均匀，需积分 $\int B(x)dA$)。
    3. 求导得电动势大小。
    4. 楞次定律判断方向（“增反减同”）。
• 动生电动势
  • $\mathcal{E}=\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$
  • 直导线切割： $\mathcal{E}=BLv$
  • 转动导线 (棒长L, 角速度\omega)： $\mathcal{E}=\frac{1}{2}B{L}^2\omega$ (非常高频！)
• 感生电场 (涡旋电场)
  • $\oint {\overrightarrow{E}}_k\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$
  • 圆柱形磁场区域内/外的涡旋电场分布（类似安培环路定理求解）。
• 自感与互感
  • 自感系数：$L=\frac{N\mathrm{\Phi }}{I}$
  • 磁能密度：$w_m=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$

D. 麦克斯韦方程组与电磁波

• 位移电流 (Displacement Current - 必考填空)
  • 公式：$I_d={\epsilon }_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}$
  • 考点： $I_d$ 的方向与 $\frac{d\overrightarrow{E}}{dt}$ 方向一致。若电容器充电（$E$ 增加），$I_d$ 与传导电流 $I$ 同向。
• 电磁波： $E$ 和 $B$ 同相位，$\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ 沿传播方向。$E=cB$。

3. 历年真题易错点提醒 (Electromagnetism)

1. 霍尔效应的正负电荷陷阱： 如果载流子是电子，洛伦兹力向上，电子聚集在上板，上板电势低。如果是空穴（正电荷），上板电势高。题目常考金属（电子）或半导体。
2. 导线转动的电动势： 很多同学直接用 $BLv$，但速度是变化的。必须积分或者直接背 $\frac{1}{2}B{L}^2\omega$。
3. 磁介质与电介质： 注意 ${\epsilon }_r$ (相对介电常数) 和 ${\mu }_r$ (相对磁导率) 的位置。
   • 电场中插入介质，$E$ 减小，$E=E_0/{\epsilon }_r$。
   • 磁场中插入铁磁质，$B$ 剧烈增大。
4. 互感方向： 两个线圈，电流方向改变会影响互感电动势的正负，注意题目中的绕向图示。